Ratkaise 3x-4y=16;2x-3y=10

$$3 x - 4 y = 16 ; 2 x - 3 y = 10$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=8$$

$$y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x-4y=16$$

Lisää 4y yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x=4y+16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{16+4y}{3} toisessa yhtälössä, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

Kerro 2 ja \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

Lisää \frac{8y}{3} lukuun -3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

Vähennä \frac{32}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Kerro molemmat puolet luvulla -3.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

Kerro \frac{4}{3} ja 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

Lisää \frac{16}{3} lukuun \frac{8}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=8$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=8,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=8,y=2$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Jos haluat saada luvut 3x ja 2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

Sievennä.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

Vähennä 6x-9y=30 lausekkeesta 6x-8y=32 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

Lisää 6x lukuun -6x. Termit 6x ja -6x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-8y+9y=32-30$$

Lisää -8y lukuun 9y.

$$y=32-30$$

Lisää 32 lukuun -30.

$$y=2$$

Korvaa y arvolla 2 yhtälössä 2x-3y=10. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$2x-3\times 2=10$$

Kerro -3 ja 2.

$$2x-6=10$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$2x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=8$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=8,y=2$$