Ratkaise 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Selvitä 13x yhdistämällä 3x ja 10x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -2x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 13.

$$a=10 b=3$$

Kirjoita \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right) uudelleen muodossa -2x^{2}+13x-15.

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Jaa yleinen termi -x+5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+5=0 ja 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x ja x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Selvitä 13x yhdistämällä 3x ja 10x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 13 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 13 neliöön.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 169 lukuun -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±7}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -13 lukuun 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{-4} luvulla 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-13±7}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Jaa -20 luvulla -4.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x ja x-5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Selvitä 13x yhdistämällä 3x ja 10x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Lisää 15 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$13x-2x^{2}=15$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Jaa 13 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Jaa 15 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Jaa -\frac{13}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{4}. Lisää sitten -\frac{13}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Lisää -\frac{15}{2} lukuun \frac{169}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Lisää \frac{13}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$