Ratkaise 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Lisää \left(k+1\right)y yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{yk+y+20}{3} toisessa yhtälössä, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Kerro k+2 ja \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Lisää \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} lukuun -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Vähennä \frac{40+20k}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Jaa molemmat puolet luvulla \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Korvaa y arvolla -\frac{20}{7+k} yhtälössä x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Kerro \frac{k+1}{3} ja -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Lisää \frac{20}{3} lukuun -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat saada luvut 3x ja \left(k+2\right)x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla k+2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Sievennä.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Vähennä \left(3k+6\right)x-30y=120 lausekkeesta \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Lisää 3\left(2+k\right)x lukuun -6x-3xk. Termit 3\left(2+k\right)x ja -6x-3xk kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Lisää -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y lukuun 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Lisää 20k+40 lukuun -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Jaa molemmat puolet luvulla \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Korvaa y arvolla -\frac{20}{7+k} yhtälössä \left(k+2\right)x-10y=40. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Kerro -10 ja -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Vähennä \frac{200}{7+k} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Jaa molemmat puolet luvulla k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Lisää \left(k+1\right)y yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{yk+y+20}{3} toisessa yhtälössä, \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Kerro k+2 ja \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Lisää \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} lukuun -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Vähennä \frac{40+20k}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Jaa molemmat puolet luvulla \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Korvaa y arvolla -\frac{20}{7+k} yhtälössä x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Kerro \frac{k+1}{3} ja -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Lisää \frac{20}{3} lukuun -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Laske lukujen k+1 ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen ky+y vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$3x-ky-y=20$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Tarkastele toista yhtälöä. Laske lukujen k+2 ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$kx+2x-10y=40$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x,y:n.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Jos haluat saada luvut 3x ja \left(k+2\right)x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla k+2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Sievennä.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Vähennä \left(3k+6\right)x-30y=120 lausekkeesta \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Lisää 3\left(2+k\right)x lukuun -6x-3xk. Termit 3\left(2+k\right)x ja -6x-3xk kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Lisää -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y lukuun 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Lisää 20k+40 lukuun -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Jaa molemmat puolet luvulla \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Korvaa y arvolla -\frac{20}{7+k} yhtälössä \left(k+2\right)x-10y=40. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Kerro -10 ja -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Vähennä \frac{200}{7+k} yhtälön molemmilta puolilta.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Jaa molemmat puolet luvulla k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$