Ratkaise 3x^2-9x=x-5

$$3 x ^ { 2 } - 9 x = x - 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{10} + 5}{3} \approx 2,72075922$$

$$x=\frac{5-\sqrt{10}}{3}\approx 0,612574113$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-9x-x=-5$$

Selvitä -10x yhdistämällä -9x ja -x.

$$3x^{2}-10x=-5$$

Lisää 5 molemmille puolille.

$$3x^{2}-10x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -10 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-60}}{2\times 3}$$

Lisää 100 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{40}}{2\times 3}$$

Ota luvun 40 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{10±2\sqrt{10}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{10}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+10}{6}$$

Jaa 10+2\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{10}+5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{10}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{10} luvusta 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{10}}{6}$$

Jaa 10-2\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{5-\sqrt{10}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{10}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{10}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-9x-x=-5$$

Selvitä -10x yhdistämällä -9x ja -x.

$$3x^{2}-10x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Jaa -\frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{3}. Lisää sitten -\frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{25}{9}$$

Lisää -\frac{5}{3} lukuun \frac{25}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{10}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

Lisää \frac{5}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{10}+5}{3} x=\frac{5-\sqrt{10}}{3}$$