Ratkaise 3x^2-8x-60leq0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 60 \leq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{10}{3},6\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}-8x-60=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan -8 tilalle b ja muuttujan -60 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{8±28}{6}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{8±28}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=6 x=-\frac{10}{3}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$3\left(x-6\right)\left(x+\frac{10}{3}\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x-6 ja x+\frac{10}{3} on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x-6\geq 0 ja x+\frac{10}{3}\leq 0.

$$x-6\geq 0 x+\frac{10}{3}\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-6\leq 0 ja x+\frac{10}{3}\geq 0.

$$x+\frac{10}{3}\geq 0 x-6\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[-\frac{10}{3},6\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{10}{3},6\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{10}{3},6\end{bmatrix}$$