Ratkaise 3x^2-8x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{19} + 4}{3} \approx 2,786299648$$

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}\approx -0,119632981$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -8 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12}}{2\times 3}$$

Lisää 64 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+8}{6}$$

Jaa 8+2\sqrt{19} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{19}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{19}}{6}$$

Jaa 8-2\sqrt{19} luvulla 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$3x^{2}-8x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{3}. Lisää sitten -\frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{1}{3}+\frac{16}{9}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{16}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{19}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Lisää \frac{4}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{19}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{19}}{3}$$