Ratkaise 3x^2-7x=6

$$3 x ^ { 2 } - 7 x = 6$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 6 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-6. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=3\left(-6\right)=-18$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-9 b=2$$

Kirjoita \left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-7x-6.

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(2x-6\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$3x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Jaa yleinen termi x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-3=0 ja 3x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-7x=6$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x-6=6-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-7x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -7 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 3}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{7±11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±11}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 11.

$$x=\frac{18}{6}$$

Jaa 18 luvulla 6.

$$x=3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±11}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta 7.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{6} luvulla 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{6}{3}$$

Jaa 6 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=2$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=2+\frac{49}{36}$$

Lisää 2 lukuun \frac{49}{36}.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{121}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{11}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{11}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3 x=-\frac{2}{3}$$