Ratkaise 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-4 b=-3$$

Kirjoita \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-7x+4.

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-4=0 ja x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -7 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±1}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Supista murtoluku \frac{8}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±1}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{49}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$