Ratkaise 3x^2-7x+2=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=3\times 2=6$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-6 b=-1$$

Kirjoita \left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-7x+2.

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ota 3x tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-2\right)\left(3x-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-2=0 ja 3x-1=0.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -7 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 2}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 3}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{7±5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±5}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 5.

$$x=\frac{12}{6}$$

Jaa 12 luvulla 6.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±5}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-7x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun \frac{49}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{25}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{5}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=\frac{1}{3}$$