Ratkaise 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx+84. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -32.

$$a=-18 b=-14$$

Kirjoita \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-32x+84.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -14.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -32 ja c luvulla 84 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Korota -32 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Lisää 1024 lukuun -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Luvun -32 vastaluku on 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±4}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 32 lukuun 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Jaa 36 luvulla 6.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±4}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Supista murtoluku \frac{28}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Vähennä 84 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Kun luku 84 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Jaa -84 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Jaa -\frac{32}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{16}{3}. Lisää sitten -\frac{16}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{16}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Lisää -28 lukuun \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Lisää \frac{16}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$