Ratkaise 3x^2-3x=81

$$3 x ^ { 2 } - 3 x = 81$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-3x=81$$

Vähennä 81 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-3x-81=81-81$$

Kun luku 81 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-3x-81=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -3 ja c luvulla -81 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -81.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+972}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun 972.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{981}}{2\times 3}$$

Ota luvun 981 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 3\sqrt{109}.

$$x=\frac{3\sqrt{109}+3}{6}$$

Jaa 3+3\sqrt{109} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{109} luvusta 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{109}}{6}$$

Jaa 3-3\sqrt{109} luvulla 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-3x=81$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{81}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{81}{3}$$

Jaa -3 luvulla 3.

$$x^{2}-x=\frac{81}{3}$$

Jaa 81 luvulla 3.

$$x^{2}-x=27$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Lisää 27 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$