Ratkaise 3x^2-20x-12=10

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 12 = 10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{166} + 10}{3} \approx 7,628032909$$

$$x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}\approx -0,961366242$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-20x-12=10$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-20x-12-10=10-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-20x-12-10=0$$

Vähennä 10 luvusta -12.

$$3x^{2}-20x-22=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -20 ja c luvulla -22 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Korota -20 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -22.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+264}}{2\times 3}$$

Lisää 400 lukuun 264.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{664}}{2\times 3}$$

Ota luvun 664 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{166}}{2\times 3}$$

Luvun -20 vastaluku on 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{166}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 20 lukuun 2\sqrt{166}.

$$x=\frac{2\sqrt{166}+20}{6}$$

Jaa 20+2\sqrt{166} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{166} luvusta 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{166}}{6}$$

Jaa 20-2\sqrt{166} luvulla 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x-12=10$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-20x-12-\left(-12\right)=10-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-20x=10-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 10.

$$3x^{2}-20x=22$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=\frac{22}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{22}{3}$$

Jaa -\frac{20}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{10}{3}. Lisää sitten -\frac{10}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{22}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{10}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{22}{3}+\frac{100}{9}$$

Lisää \frac{22}{3} lukuun \frac{100}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{166}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{166}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{166}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{166}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{166}}{3}$$

Lisää \frac{10}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$