Ratkaise 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -20 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Korota -20 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Lisää 400 lukuun -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Ota luvun 388 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Luvun -20 vastaluku on 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 20 lukuun 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Jaa 20+2\sqrt{97} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{97} luvusta 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Jaa 20-2\sqrt{97} luvulla 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{20}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{10}{3}. Lisää sitten -\frac{10}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{10}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{100}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Lisää \frac{10}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$