Ratkaise 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-16. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -2.

$$a=-8 b=6$$

Kirjoita \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right) uudelleen muodossa 3x^{2}-2x-16.

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 2.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-8 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-8=0 ja x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -2 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±14}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Supista murtoluku \frac{16}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±14}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Jaa -12 luvulla 6.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Lisää 16 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Kun luku -16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Vähennä -16 luvusta 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{16}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$