Ratkaise 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -2 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Ota luvun -44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Jaa 2+2i\sqrt{11} luvulla 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{11} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Jaa 2-2i\sqrt{11} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$