Ratkaise 3x^2-12x+6=0

$$3 x ^ { 2 } - 12 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

$$x=2-\sqrt{2}\approx 0,585786438$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-12x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -12 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 6}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 3}$$

Lisää 144 lukuun -72.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 3}$$

Ota luvun 72 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 3}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 6\sqrt{2}.

$$x=\frac{6\sqrt{2}+12}{6}$$

Jaa 12+6\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=\sqrt{2}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±6\sqrt{2}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{2} luvusta 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{2}}{6}$$

Jaa 12-6\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=2-\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-12x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-12x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-12x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-12x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -12 luvulla 3.

$$x^{2}-4x=-\frac{6}{3}$$

Jaa -6 luvulla 3.

$$x^{2}-4x=-2$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-2+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-2+4$$

Lisää -2 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=2$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=2$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{2} x-2=-\sqrt{2}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\sqrt{2}+2 x=2-\sqrt{2}$$