Ratkaise 3x^2-100x+400=0

$$3 x ^ { 2 } - 100 x + 400 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{10 \sqrt{13} + 50}{3} \approx 28,685170918$$

$$x = \frac{50 - 10 \sqrt{13}}{3} \approx 4,648162415$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-100x+400=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -100 ja c luvulla 400 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 3\times 400}}{2\times 3}$$

Korota -100 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 3\times 400}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-12\times 400}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 400.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4800}}{2\times 3}$$

Lisää 10000 lukuun -4800.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{5200}}{2\times 3}$$

Ota luvun 5200 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±20\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Luvun -100 vastaluku on 100.

$$x=\frac{100±20\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{100±20\sqrt{13}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{100±20\sqrt{13}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 100 lukuun 20\sqrt{13}.

$$x=\frac{20\sqrt{13}+100}{6}$$

Jaa 100+20\sqrt{13} luvulla 6.

$$x=\frac{10\sqrt{13}+50}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{100±20\sqrt{13}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{13} luvusta 100.

$$x=\frac{100-20\sqrt{13}}{6}$$

Jaa 100-20\sqrt{13} luvulla 6.

$$x=\frac{50-10\sqrt{13}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{10\sqrt{13}+50}{3} x=\frac{50-10\sqrt{13}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-100x+400=0$$

Vähennä 400 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-100x+400-400=-400$$

Kun luku 400 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}-100x=-400$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-100x}{3}=-\frac{400}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{100}{3}x=-\frac{400}{3}$$

Jaa -\frac{100}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{50}{3}. Lisää sitten -\frac{50}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{100}{3}x+\left(-\frac{50}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{50}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{50}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{100}{3}x+\frac{2500}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{2500}{9}$$

Lisää -\frac{400}{3} lukuun \frac{2500}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{100}{3}x+\frac{2500}{9}=\frac{1300}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{100}{3}x+\frac{2500}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{50}{3}\right)^{2}=\frac{1300}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{50}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1300}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{50}{3}=\frac{10\sqrt{13}}{3} x-\frac{50}{3}=-\frac{10\sqrt{13}}{3}$$

Lisää \frac{50}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{10\sqrt{13}+50}{3} x=\frac{50-10\sqrt{13}}{3}$$