Ratkaise 3x^2=9x-5

$$3 x ^ { 2 } = 9 x - 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}\approx 2,263762616$$

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}\approx 0,736237384$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-9x=-5$$

Lisää 5 molemmille puolille.

$$3x^{2}-9x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -9 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-12\times 5}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-60}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{21}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{9±\sqrt{21}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{21}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}+9}{6}$$

Jaa 9+\sqrt{21} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{21}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{21} luvusta 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{21}}{6}$$

Jaa 9-\sqrt{21} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 9x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-9x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-9x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{3}\right)x=-\frac{5}{3}$$

Jaa -9 luvulla 3.

$$x^{2}-3x=-\frac{5}{3}$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{9}{4}$$

Lisää -\frac{5}{3} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{12}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{12}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{6} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{6}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{21}}{6}+\frac{3}{2}$$