Ratkaise 3x^2=8x+9

$$3 x ^ { 2 } = 8 x + 9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{43} + 4}{3} \approx 3,519146175$$

$$x=\frac{4-\sqrt{43}}{3}\approx -0,852479508$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-8x=9$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-8x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -8 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+108}}{2\times 3}$$

Lisää 64 lukuun 108.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{172}}{2\times 3}$$

Ota luvun 172 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{43}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{43}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{43}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2\sqrt{43}.

$$x=\frac{2\sqrt{43}+8}{6}$$

Jaa 8+2\sqrt{43} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{43}+4}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{43}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{43} luvusta 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{43}}{6}$$

Jaa 8-2\sqrt{43} luvulla 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{43}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{43}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{43}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 8x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-8x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{9}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{9}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=3$$

Jaa -\frac{8}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{3}. Lisää sitten -\frac{4}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=3+\frac{16}{9}$$

Lisää 3 lukuun \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{43}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{43}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{43}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{43}}{3}$$

Lisää \frac{4}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{43}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{43}}{3}$$