Ratkaise 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan 1 tilalle b ja muuttujan -2 tilalle c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-1±5}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\frac{2}{3} ja x+1 on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{2}{3} on positiivinen ja x+1 on negatiivinen.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+1 on positiivinen ja x-\frac{2}{3} on negatiivinen.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$