Ratkaise 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-10. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -10.

$$-1,10 -2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 3.

$$a=-2 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right) uudelleen muodossa x^{2}+3x-10.

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-2=0 ja x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 9 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±21}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Jaa 12 luvulla 6.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±21}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Jaa -30 luvulla 6.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Lisää 30 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Kun luku -30 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Vähennä -30 luvusta 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Jaa 30 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Lisää 10 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=2 x=-5$$