Ratkaise 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-7$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 90 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Vähennä 90 luvusta 6 saadaksesi tuloksen -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-28. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-4 b=7$$

Kirjoita \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) uudelleen muodossa x^{2}+3x-28.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Jaa yleinen termi x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-4=0 ja x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Vähennä 90 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Kun luku 90 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Vähennä 90 luvusta 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 9 ja c luvulla -84 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Ota luvun 1089 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±33}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Jaa 24 luvulla 6.

$$x=4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±33}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 33 luvusta -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Jaa -42 luvulla 6.

$$x=-7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4 x=-7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Vähennä 6 luvusta 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Jaa 84 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Lisää 28 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=4 x=-7$$