Ratkaise 3x^2+9x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -0,542572892$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -2,457427108$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 9 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 4}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 3}$$

Lisää 81 lukuun -48.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-9}{6}$$

Jaa -9+\sqrt{33} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{33} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-9}{6}$$

Jaa -9-\sqrt{33} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+9x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+9x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa 9 luvulla 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{3}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{9}{4}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{12}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$