Ratkaise 3x^2+7x+3=0

$$3 x ^ { 2 } + 7 x + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6}\approx -0,565741454$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}\approx -1,767591879$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+7x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 7 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\times 3}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun -36.

$$x=\frac{-7±\sqrt{13}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{13}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{13} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+7x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+7x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+7x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Jaa -3 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-1$$

Jaa \frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{6}. Lisää sitten \frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-1+\frac{49}{36}$$

Lisää -1 lukuun \frac{49}{36}.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{13}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Vähennä \frac{7}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{13}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-7}{6}$$