Ratkaise 3x^2+6x+8=0

$$3 x ^ { 2 } + 6 x + 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{3}-1\approx -1+1,290994449i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{3}-1\approx -1-1,290994449i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+6x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 6 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-12\times 8}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96}}{2\times 3}$$

Lisää 36 lukuun -96.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-60}}{2\times 3}$$

Ota luvun -60 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{15}i}{6}$$

Jaa -6+2i\sqrt{15} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{3}-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{15} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-6}{6}$$

Jaa -6-2i\sqrt{15} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{3}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{3}-1 x=-\frac{\sqrt{15}i}{3}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+6x+8=0$$

Vähennä 8 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+6x+8-8=-8$$

Kun luku 8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+6x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+6x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{6}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Jaa 6 luvulla 3.

$$x^{2}+2x=-\frac{8}{3}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\frac{8}{3}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{8}{3}+1$$

Lisää -\frac{8}{3} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=-\frac{5}{3}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-\frac{5}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{3}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{\sqrt{15}i}{3} x+1=-\frac{\sqrt{15}i}{3}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{3}-1 x=-\frac{\sqrt{15}i}{3}-1$$