Ratkaise 3x^2+5x=73

$$3 x ^ { 2 } + 5 x = 73$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{901} - 5}{6} \approx 4,169443673$$

$$x=\frac{-\sqrt{901}-5}{6}\approx -5,83611034$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x=73$$

Vähennä 73 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x-73=73-73$$

Kun luku 73 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x-73=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -73 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-73\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-73\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-73\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -73.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+876}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 876.

$$x=\frac{-5±\sqrt{901}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{901}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{901}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun \sqrt{901}.

$$x=\frac{\sqrt{901}-5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{901}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{901} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{901}-5}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{901}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{901}-5}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=73$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{73}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{73}{3}$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{73}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{901}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{901}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{901}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{901}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{901}}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{901}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{901}-5}{6}$$