Ratkaise 3x^2+5x=2

$$3 x ^ { 2 } + 5 x = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -6.

$$-1,6 -2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 5.

$$a=-1 b=6$$

Kirjoita \left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+5x-2.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 3x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 3x-1=0 ja x+2=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+5x=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+5x-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±7}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±7}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±7}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta -5.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Jaa -12 luvulla 6.

$$x=-2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{2}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{2}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$