Ratkaise 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 4 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Jaa -4+2\sqrt{7} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Jaa -4-2\sqrt{7} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$