Ratkaise 3x^2+4x+5=42

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 42$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{115} - 2}{3} \approx 2,907935098$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}\approx -4,241268432$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Vähennä 42 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+4x+5-42=42-42$$

Kun luku 42 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+4x+5-42=0$$

Vähennä 42 luvusta 5.

$$3x^{2}+4x-37=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 4 ja c luvulla -37 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -37.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+444}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun 444.

$$x=\frac{-4±\sqrt{460}}{2\times 3}$$

Ota luvun 460 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{115}.

$$x=\frac{2\sqrt{115}-4}{6}$$

Jaa -4+2\sqrt{115} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{115} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{115}-4}{6}$$

Jaa -4-2\sqrt{115} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+5=42$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+4x+5-5=42-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+4x=42-5$$

Vähennä 5 luvusta 42.

$$3x^{2}+4x=37$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{37}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{37}{3}$$

Jaa \frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{3}. Lisää sitten \frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{37}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{37}{3}+\frac{4}{9}$$

Lisää \frac{37}{3} lukuun \frac{4}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{115}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{115}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{115}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{115}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{115}}{3}$$

Vähennä \frac{2}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$