Ratkaise 3x^2+3x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,758305739$$

$$x=-\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,758305739$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+3x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+48}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun 48.

$$x=\frac{-3±\sqrt{57}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{57}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{57}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{57}.

$$x=\frac{\sqrt{57}-3}{6}$$

Jaa -3+\sqrt{57} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{57}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{57} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{57}-3}{6}$$

Jaa -3-\sqrt{57} luvulla 6.

$$x=-\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+3x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+3x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$3x^{2}+3x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=\frac{4}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=\frac{4}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$x^{2}+x=\frac{4}{3}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{4}{3}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{19}{12}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{19}{12}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{12}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{57}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{57}}{6}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{57}}{6}-\frac{1}{2}$$