Ratkaise 3x^2+2x-5>0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1,\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan 2 tilalle b ja muuttujan -5 tilalle c.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-2±8}{6}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-2±8}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$3\left(x-1\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x-1 ja x+\frac{5}{3} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x-1 ja x+\frac{5}{3} ovat molemmat negatiivisia.

$$x-1<0 x+\frac{5}{3}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-1 ja x+\frac{5}{3} ovat molemmat positiivisia.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-1>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>1.

$$x>1$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>1$$