Ratkaise 3x^2+2x+5=18

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1,774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2,44151844$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

Vähennä 18 luvusta 5.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 2 ja c luvulla -13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -13.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 156.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

Ota luvun 160 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

Jaa -2+4\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{10} luvusta -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

Jaa -2-4\sqrt{10} luvulla 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

Vähennä 5 luvusta 18.

$$3x^{2}+2x=13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää \frac{13}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$