Ratkaise 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 2 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Ota luvun -8 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Jaa -2+2i\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Jaa -2-2i\sqrt{2} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{3}. Lisää sitten \frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{1}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Vähennä \frac{1}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$