Ratkaise 3x^2+16x-5=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}\approx 0,296064806$$

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}\approx -5,629398139$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 16 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+60}}{2\times 3}$$

Lisää 256 lukuun 60.

$$x=\frac{-16±\sqrt{316}}{2\times 3}$$

Ota luvun 316 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 2\sqrt{79}.

$$x=\frac{2\sqrt{79}-16}{6}$$

Jaa -16+2\sqrt{79} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±2\sqrt{79}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{79} luvusta -16.

$$x=\frac{-2\sqrt{79}-16}{6}$$

Jaa -16-2\sqrt{79} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+16x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$3x^{2}+16x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{5}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Jaa \frac{16}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{8}{3}. Lisää sitten \frac{8}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{8}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

Lisää \frac{5}{3} lukuun \frac{64}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{79}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{79}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{79}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{\sqrt{79}}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{\sqrt{79}}{3}$$

Vähennä \frac{8}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{79}-8}{3} x=\frac{-\sqrt{79}-8}{3}$$