Ratkaise 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-35. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 16.

$$a=-5 b=21$$

Kirjoita \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+16x-35.

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 7.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-5=0 ja x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 16 ja c luvulla -35 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Lisää 256 lukuun 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Ota luvun 676 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±26}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{10}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±26}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 26 luvusta -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Jaa -42 luvulla 6.

$$x=-7$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Lisää 35 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Kun luku -35 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Vähennä -35 luvusta 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Jaa \frac{16}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{8}{3}. Lisää sitten \frac{8}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{8}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Lisää \frac{35}{3} lukuun \frac{64}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Vähennä \frac{8}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$