Ratkaise 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3x^{2}+ax+bx-12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 16.

$$a=-2 b=18$$

Kirjoita \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right) uudelleen muodossa 3x^{2}+16x-12.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 6.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Jaa yleinen termi 3x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x-2=0 ja x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 16 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Korota 16 neliöön.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Lisää 256 lukuun 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±20}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Supista murtoluku \frac{4}{6} luvulla 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-16±20}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Jaa -36 luvulla 6.

$$x=-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Jaa 12 luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Jaa \frac{16}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{8}{3}. Lisää sitten \frac{8}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{8}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Lisää 4 lukuun \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Vähennä \frac{8}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$