Ratkaise 3x^2+15x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 15 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Korota 15 neliöön.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+144}}{2\times 3}$$

Lisää 225 lukuun 144.

$$x=\frac{-15±\sqrt{369}}{2\times 3}$$

Ota luvun 369 neliöjuuri.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -15 lukuun 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-15}{6}$$

Jaa -15+3\sqrt{41} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-15±3\sqrt{41}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{41} luvusta -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-15}{6}$$

Jaa -15-3\sqrt{41} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+15x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x^{2}+15x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+15x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$3x^{2}+15x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{12}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{12}{3}$$

Jaa 15 luvulla 3.

$$x^{2}+5x=\frac{12}{3}$$

Jaa 12 luvulla 3.

$$x^{2}+5x=4$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$