Ratkaise 3x^2+11x+2=15

$$3 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}\approx 0,94055283$$

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}\approx -4,607219496$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+11x+2-15=15-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+11x+2-15=0$$

Vähennä 15 luvusta 2.

$$3x^{2}+11x-13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 11 ja c luvulla -13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -13.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+156}}{2\times 3}$$

Lisää 121 lukuun 156.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun \sqrt{277}.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{277} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+11x+2-2=15-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3x^{2}+11x=15-2$$

Vähennä 2 luvusta 15.

$$3x^{2}+11x=13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{13}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{13}{3}$$

Jaa \frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{6}. Lisää sitten \frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{13}{3}+\frac{121}{36}$$

Lisää \frac{13}{3} lukuun \frac{121}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{277}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{277}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{277}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{277}}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{277}}{6}$$

Vähennä \frac{11}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$