Ratkaise 3x^2+1=2x+7

$$3 x ^ { 2 } + 1 = 2 x + 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{19} + 1}{3} \approx 1,786299648$$

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}\approx -1,119632981$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+1-2x=7$$

Vähennä 7 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+1-2x-7=0$$

Vähennä 7 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -6.

$$3x^{2}-6-2x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3x^{2}-2x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -2 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+72}}{2\times 3}$$

Lisää 4 lukuun 72.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{76}}{2\times 3}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+2}{6}$$

Jaa 2+2\sqrt{19} luvulla 6.

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{19}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{19}}{6}$$

Jaa 2-2\sqrt{19} luvulla 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$3x^{2}+1-2x=7$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-2x=7-1$$

Vähennä 1 luvusta 7 saadaksesi tuloksen 6.

$$3x^{2}-2x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{6}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{6}{3}$$

Jaa 6 luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=2$$

Jaa -\frac{2}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{3}. Lisää sitten -\frac{1}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=2+\frac{1}{9}$$

Lisää 2 lukuun \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{19}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{19}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{19}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{19}}{3}$$

Lisää \frac{1}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{19}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{19}}{3}$$