Ratkaise 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 6y molemmilta puolilta.

$$3x+9-6y=0$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-6y=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 12 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-2x-2y=12$$

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x-6y=-9$$

Lisää 6y yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x=6y-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja 6y-9.

$$x=2y-3$$

Korvaa x arvolla 2y-3 toisessa yhtälössä, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Kerro -2 ja 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Lisää -4y lukuun -2y.

$$-6y+6=12$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-6y=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$y=-1$$

Korvaa y arvolla -1 yhtälössä x=2y-3. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=-2-3$$

Lisää -3 lukuun -2.

$$x=-5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-5,y=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 6y molemmilta puolilta.

$$3x+9-6y=0$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-6y=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 12 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-2x-2y=12$$

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=-5,y=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Tarkastele ensimmäistä yhtälöä. Vähennä 6y molemmilta puolilta.

$$3x+9-6y=0$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-6y=-9$$

Tarkastele toista yhtälöä. Lisää 12 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-2x-2y=12$$

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Jos haluat saada luvut 3x ja -2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Sievennä.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Vähennä -6x-6y=36 lausekkeesta -6x+12y=18 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Lisää -6x lukuun 6x. Termit -6x ja 6x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$12y+6y=18-36$$

Lisää 12y lukuun 6y.

$$18y=18-36$$

Lisää 18 lukuun -36.

$$18y=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 18.

$$y=-1$$

Korvaa y arvolla -1 yhtälössä -2x-2y=12. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Kerro -2 ja -1.

$$-2x+2=12$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$x=-5$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=-5,y=-1$$