Ratkaise 3x+6-x^2=5

$$3 x + 6 - x ^ { 2 } = 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 3}{2} \approx 3,302775638$$

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx -0,302775638$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x+6=5$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+3x+6-5=5-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+3x+6-5=0$$

Vähennä 5 luvusta 6.

$$-x^{2}+3x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{13}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{13}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{13}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{-2}$$

Jaa -3+\sqrt{13} luvulla -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{13}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{13} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-3}{-2}$$

Jaa -3-\sqrt{13} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{13}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+6=5$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+3x+6-6=5-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+3x=5-6$$

Vähennä 6 luvusta 5.

$$-x^{2}+3x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa -1 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=1$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$$

Lisää 1 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{13}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$