Ratkaise 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=1$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+5y=8$$

Vähennä 5y yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=-5y+8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{-5y+8}{3} toisessa yhtälössä, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Lisää -\frac{5y}{3} lukuun -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Vähennä \frac{8}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{11}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun -\frac{5}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=1,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=1,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Jos haluat saada luvut 3x ja x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 1 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Sievennä.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Vähennä 3x-6y=-3 lausekkeesta 3x+5y=8 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Lisää 3x lukuun -3x. Termit 3x ja -3x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$5y+6y=8+3$$

Lisää 5y lukuun 6y.

$$11y=8+3$$

Lisää 8 lukuun 3.

$$11y=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä x-2y=-1. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x-2=-1$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=1,y=1$$