Ratkaise 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 5 saadaksesi tuloksen 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+4. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -4.

$$-1,4 -2,2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 3.

$$a=4 b=-1$$

Kirjoita \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) uudelleen muodossa -x^{2}+3x+4.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja -1 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-4 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-4=0 ja -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta 5 saadaksesi tuloksen 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±5}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Jaa 2 luvulla -2.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±5}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Jaa -8 luvulla -2.

$$x=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Vähennä 5 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4 x=-1$$