Ratkaise 3x+4x^2-22=0

$$3 x + 4 x ^ { 2 } - 22 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{11}{4} = -2\frac{3}{4} = -2,75$$

$$x=2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$4x^{2}+3x-22=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-22. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=4\left(-22\right)=-88$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -88.

$$-1,88 -2,44 -4,22 -8,11$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+88=87 -2+44=42 -4+22=18 -8+11=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-8 b=11$$

Kirjoita \left(4x^{2}-8x\right)+\left(11x-22\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+3x-22.

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(11x-22\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 11.

$$4x\left(x-2\right)+11\left(x-2\right)$$

Jaa yleinen termi x-2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-2\right)\left(4x+11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-2=0 ja 4x+11=0.

$$x=2 x=-\frac{11}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+3x-22=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 3 ja c luvulla -22 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -22.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+352}}{2\times 4}$$

Lisää 9 lukuun 352.

$$x=\frac{-3±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Ota luvun 361 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±19}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-3±19}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±19}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 19.

$$x=\frac{16}{8}$$

Jaa 16 luvulla 8.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±19}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 19 luvusta -3.

$$x=-\frac{22}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-22}{8} luvulla 2.

$$x=-\frac{11}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=-\frac{11}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x-22=0$$

Lisää 22 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+3x-22-\left(-22\right)=-\left(-22\right)$$

Kun luku -22 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+3x=-\left(-22\right)$$

Vähennä -22 luvusta 0.

$$4x^{2}+3x=22$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=\frac{22}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{22}{4}$$

Supista murtoluku \frac{22}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{11}{2}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{11}{2}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{11}{2} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{361}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{19}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{19}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=2 x=-\frac{11}{4}$$