Ratkaise 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=2$$

$$y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x+2y=8$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$3x=-2y+8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{-2y+8}{3} toisessa yhtälössä, 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Kerro 5 ja \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Lisää -\frac{10y}{3} lukuun -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Vähennä \frac{40}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{22}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun -\frac{2}{3} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=2,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=2,y=1$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Jos haluat saada luvut 3x ja 5x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 5 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Sievennä.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Vähennä 15x-12y=18 lausekkeesta 15x+10y=40 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Lisää 15x lukuun -15x. Termit 15x ja -15x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$10y+12y=40-18$$

Lisää 10y lukuun 12y.

$$22y=40-18$$

Lisää 40 lukuun -18.

$$22y=22$$

Jaa molemmat puolet luvulla 22.

$$y=1$$

Korvaa y arvolla 1 yhtälössä 5x-4y=6. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$5x-4=6$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$5x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$x=2$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=2,y=1$$