Ratkaise 3w^2-12w+7=0

$$3 w ^ { 2 } - 12 w + 7 = 0$$

Ratkaise muuttujan w suhteen

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 3,290994449$$

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2\approx 0,709005551$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -12 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Korota -12 neliöön.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 7}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 7.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-84}}{2\times 3}$$

Lisää 144 lukuun -84.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{60}}{2\times 3}$$

Ota luvun 60 neliöjuuri.

$$w=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 2\sqrt{15}.

$$w=\frac{2\sqrt{15}+12}{6}$$

Jaa 12+2\sqrt{15} luvulla 6.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö w=\frac{12±2\sqrt{15}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{15} luvusta 12.

$$w=\frac{12-2\sqrt{15}}{6}$$

Jaa 12-2\sqrt{15} luvulla 6.

$$w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3w^{2}-12w+7=0$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$3w^{2}-12w+7-7=-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3w^{2}-12w=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3w^{2}-12w}{3}=-\frac{7}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$w^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)w=-\frac{7}{3}$$

Jaa -12 luvulla 3.

$$w^{2}-4w=-\frac{7}{3}$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$w^{2}-4w+\left(-2\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$w^{2}-4w+4=-\frac{7}{3}+4$$

Lisää -\frac{7}{3} lukuun 4.

$$w^{2}-4w+4=\frac{5}{3}$$

Jaa w^{2}-4w+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-2\right)^{2}=\frac{5}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(w-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$

Sievennä.

$$w-2=\frac{\sqrt{15}}{3} w-2=-\frac{\sqrt{15}}{3}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$w=\frac{\sqrt{15}}{3}+2 w=-\frac{\sqrt{15}}{3}+2$$