Ratkaise 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan v suhteen

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$v=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3v^{2}+av+bv-8. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=-3 b=8$$

Kirjoita \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right) uudelleen muodossa 3v^{2}+5v-8.

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

Jaa 3v toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 8.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

Jaa yleinen termi v-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista v-1=0 ja 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 5 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Korota 5 neliöön.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

Lisää 25 lukuun 96.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö v=\frac{-5±11}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun 11.

$$v=\frac{6}{6}$$

Jaa 6 luvulla 6.

$$v=1$$

Ratkaise nyt yhtälö v=\frac{-5±11}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -5.

$$v=-\frac{16}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{6} luvulla 2.

$$v=-\frac{8}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$3v^{2}+5v=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

Jaa \frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{6}. Lisää sitten \frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{8}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

Jaa v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Sievennä.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

Vähennä \frac{5}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$