Ratkaise 3t^2-7t-1=0

$$3 t ^ { 2 } - 7 t - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2,468374946$$

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0,135041613$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -7 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Korota -7 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -1.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

Lisää 49 lukuun 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{61}.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{61} luvusta 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3t^{2}-7t-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3t^{2}-7t=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$3t^{2}-7t=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3t^{2}-7t}{3}=\frac{1}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t=\frac{1}{3}$$

Jaa -\frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{6}. Lisää sitten -\frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{49}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Jaa t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} t-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Lisää \frac{7}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$