Ratkaise 3t^2-10t-20=0

$$3 t ^ { 2 } - 10 t - 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{85} + 5}{3} \approx 4,739848152$$

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}\approx -1,406514819$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -10 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Korota -10 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-20\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -20.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+240}}{2\times 3}$$

Lisää 100 lukuun 240.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{340}}{2\times 3}$$

Ota luvun 340 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2\sqrt{85}.

$$t=\frac{2\sqrt{85}+10}{6}$$

Jaa 10+2\sqrt{85} luvulla 6.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{10±2\sqrt{85}}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{85} luvusta 10.

$$t=\frac{10-2\sqrt{85}}{6}$$

Jaa 10-2\sqrt{85} luvulla 6.

$$t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-10t-20=0$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3t^{2}-10t-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kun luku -20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3t^{2}-10t=-\left(-20\right)$$

Vähennä -20 luvusta 0.

$$3t^{2}-10t=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3t^{2}-10t}{3}=\frac{20}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t=\frac{20}{3}$$

Jaa -\frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{3}. Lisää sitten -\frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{20}{3}+\frac{25}{9}$$

Lisää \frac{20}{3} lukuun \frac{25}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9}=\frac{85}{9}$$

Jaa t^{2}-\frac{10}{3}t+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{85}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{9}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{85}}{3} t-\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{85}}{3}$$

Lisää \frac{5}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{85}+5}{3} t=\frac{5-\sqrt{85}}{3}$$