Ratkaise 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 3n^{2}+an+bn-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-9 b=5$$

Kirjoita \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right) uudelleen muodossa 3n^{2}-4n-15.

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Jaa 3n toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Jaa yleinen termi n-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista n-3=0 ja 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla -4 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Korota -4 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Lisää 16 lukuun 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{4±14}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Jaa 18 luvulla 6.

$$n=3$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{4±14}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{6} luvulla 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Jaa 15 luvulla 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Jaa -\frac{4}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{3}. Lisää sitten -\frac{2}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Lisää 5 lukuun \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Jaa n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Lisää \frac{2}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$